Matemática

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Apunte de Matematica
Cursada
56 h
Examen
8 h
Total de clase
64 h

Profesor o profesora: Giselle Bottazzi

Publicado el

Escrito por Felipe Arce

Matemática

Clase I - 16 de abr de 2024

Bibliografía de Consulta

  • Algebra I, Armando Rojo, Ed. El Ateneo
  • Algebra II, Armando Rojo, Ed. El Ateneo
  • Matemática Discreta, Grassmann. Ed. Prentice-Hall
  • Matemática Para la computación. José Murillo. Ed. Alfaomega

Unidad 1

Conjuntos - Operaciones, leyes y propiedades - Problemas de Conteo- Traducción a Notación Conjuntista.

Conceptos Matemáticos: Conjuntos y Operaciones

En matemáticas, los conjuntos son colecciones bien definidas de objetos, llamados elementos, que pueden ser números, letras, o cualquier otro tipo de objeto.

Cardinal de un Conjunto

El cardinal de un conjunto es el número de elementos que contiene. Se lo identifica con un #

Primer diagrama de Venn
  • A={Personas que les gusta el fuˊtbol}A = \{ \text{Personas que les gusta el fútbol} \}
  • B={Personas que les gusta la natacioˊn}B = \{ \text{Personas que les gusta la natación} \}
  • A={Ana,Juan,Joseˊ,Marıˊa}A = \{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{José}, \text{María} \}
  • B={Marıˊa,Laura,Marcos}B = \{ \text{María}, \text{Laura}, \text{Marcos} \}
  • U={Ana,Juan,Joseˊ,Marıˊa,Laura,Marcos}U = \{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{José}, \text{María}, \text{Laura}, \text{Marcos} \}
  • Cardinal A=4\text{Cardinal } A = 4
  • Cardinal B=3\text{Cardinal } B = 3

A∩B={Marıˊa}A \cap B = \{ \text{María} \}

A∪BA \cup B

A∪B={Ana,Juan,Jose,Maria,Marcos,Laura}A \cup B = \{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{Jose}, \text{Maria}, \text{Marcos}, \text{Laura} \}

A Intersección de B Complemento

A∩B‾={Ana,Juan,Jose}A \cap \overline{B} = \{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{Jose} \}

B‾=Bc\overline{B} = B^c
Son decir lo mismo

Conjunto

Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir una propiedad

Definición Explícita o por Extensión: Citando todos los elementos entre llaves

Conjunto

A={Ana,Juan,Jose,Maria}A = \{ \text{Ana}, \text{Juan}, \text{Jose}, \text{Maria} \}

Definición Implícita o por Comprension:Dando una o varias Características que determinan si el elemento pertenece o no Al conjunto

A={Nuˊmeros naturales menores o iguales a 5}A = \{ \text{Números naturales menores o iguales a 5} \}

A={x∈N∣x≤5}A = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \leq 5 \}

Expresion Matematica Universal 1

∈ representa “pertenece a”\in \text{ representa ``pertenece a''}

Igualdad De Conjuntos

Dos Conjuntos A Y B son iguales ucando poseen los mismos elementos

x∈A⇔x∈Bx \in A \quad \Leftrightarrow \quad x \in B

Conjuntos Especiales

El conjunto vacío

∅\emptyset
es aquel que carece de elementos
∅={}\emptyset = \{\}
o bien en ∀x, x ∉ A
∅\emptyset

El conjunto unitario es cuando tiene un único elemento. Por ejemplo:

{1},{a},{luis}\{1\}, \{a\}, \{luis\}

Definición de Inclusión: Subconjunto. Dados dos conjuntos A y B, decimos que A está contenido o incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y lo denotamos como

A⊂BA \subset B

Diagrama de Venn de dos conjuntos que se intersecan

  • A={x∈N∣x<7}A = \{ x \in \mathbb{N} \mid x < 7 \}

    Expresión Matemática Universal 2
  • U={0,1,2,3,4,5,6}U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}
  • A={4,2,3}A = \{4, 2, 3\}

  • B={x∣x∈N∧2≤x<6}B = \{ x \mid x \in \mathbb{N} \land 2 \leq x < 6 \}

    Expresión Matemática Universal 3
  • B={2,3,4,5}B = \{2, 3, 4, 5\}
Diagrama de Venn

A⊂BA \subset B
✔

A⊆BA \subseteq B
❌

Propiedad Reflexiva: Todo conjunto está incluido en sí mismo.

A⊂AA \subset A

Propiedad Transitiva: Si

A⊂B⊂CA \subset B \subset C
entonces
A⊂CA \subset C

Inclusión e Igualdad entre conjuntos

A=B⇔A⊂B∧B⊂AA = B \Leftrightarrow A \subset B \land B \subset A

Explicación de la igualdad entre conjuntos

Complemento entre Conjuntos

Complemento

LLamamos Complemento de A a los elementos del universo que no pertenecen a A

Se denota con

AcA^c
 o
A‾\overline{A}

Ac={x∈N∣x∉A}A^c = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \notin A \}

Diagrama de Venn 4